Non, je ne vois pas où cela peut être un anglicisme.
Mais il est vrai qu'ajouter
le fait... est souvent lourd, alors que l'on pourrait simplement se contenter
d'établir que... (peut-être est-ce là que votre interlocuteur a vu l'anglicisme?

).
Le français essaie d'alléger ses longues phrases en supprimant le superflu, ce qui n'est pas absolument crucial pour la compréhension. C'est là que réside, en réalité, le secret d'un bon phrasé : toujours chercher la concision. Relisez Gil, egueule et certains autres...
Par exemple, pour réécrire certaines phrases trouvées sur google (oui, moi aussi j'ai googlé

) :
...avec un patronat qui est parvenu à établir le fait que ses intérêts sont suprêmes pour le « bien-être » du pays...
serait plus léger, mieux écrit ainsi :
... avec un patronat qui est parvenu à établir que ses intérêts sont cruciaux pour le "bien-être" du pays...
C'est seulement récemment qu'une expédition polaire française a pu établir le fait que le Groenland était composé de deux îles principales.
Ce n'est que récemment qu'une expédition polaire française a pu établir que le Groënland était principalement composé de deux îles.
Même en tant que néophyte de la médecine, j'ai pu clairement établir le fait que nos trois collègues sceptiques étaient bien portant.
Même moi, néophyte en médecine, ai pu établir clairement que nos trois sceptiques collègues se portaient bien.
Ce dernier exemple étant particulièrement éloquent.
