Of course you can say aceptar el puesto. It means to accept the position. But your initial question was how to say to accept a job offer; that still is aceptar una oferta de empleo.
La palabra "posición" la utilizan los profesionales de los Recursos Humanos. Ellos necesitan a alguien para cubrir una "posición" (un puesto de trabajo).
Las personas que no trabajan en Recursos Humanos no dicen "posición" sino "trabajo".