HOla
Por compelto de acuerdo con Cal inhibes pero te aclaro, StorTure (bienvenido al foro) que se trata de dos frases hechas ensambladas: cueste lo que cueste significa que algo se hará cualquiera sea su coste material mientras que caiga quien caiga se refiere a que algo se hará aunque conduzca a perjudicar al más alto de quienes resulten responsables de ese algo. Por ejemplo, caiga quien caiga se utiliza si se va a investigar algo mientras que cueste lo que cueste alude al precio material de lo que se piensa hacer. Si tecleas ambas expresiones en internet te saldrán múltiples ejemplos de uso de hoy mismo.
Para mí la expresión ‘cueste lo que cueste’ no únicamente alude a costos materiales, sino también a costos no tangibles como el esfuerzo o la dedicación puestos en el empeño. ‘Caiga quien caiga’ se refiere a que no habrá miramientos con nadie en el empeño que se emprende.