Quand on insiste à tort, on risque de provoquer la lassitude, mais on peut aussi bien insister pour la bonne cause, en particulier pour attirer l'attention.
Quand on persiste à tort, on risque de provoquer le réprobation et l'incompréhension. Persister est assez synonyme de camper sur ses positions. Alors tout dépend de ces positions, qu'il est fortement recommandé, avant de camper dessus, d'avoir bien choisies, car il faut qu'elles s'avèrent effectivement tenables.
Persister auprès de quelqu'un, même pour une bonne cause, risque d'être perçu comme du harcèlement ou comme un comportement inadapté, alors qu'insister auprès de quelqu'un pour une bonne cause sera en principe admis et compris.
Quand une personne insiste à tort, on dit, pour renforcer, qu'elle insiste lourdement.
Pour renforcer persister à tort, je ne trouve pas d'adverbe dédié, mais des adverbes variés : irrationnellement, inexplicablement, abusivement, vainement, bêtement, stupidement...