Comme l'a souligné fetchez, le verbe papillonner n'est pas forcément associé aux relations amoureuses.
Quand c'est le cas, je pense qu'il faut avoir en tête l'image du papillon qui va de fleur en fleur. Donc, j'imagine que l'on ne peut escompter aucune relation sérieuse et suivie avec quelqu'un qui "papillonne".
D'une manière plus générale, le mot a une connotation de légèreté, de superficialité, d'imprévoyance aussi. Si quelqu'un doit papillonner ce sera plutôt la cigale que la fourmi de la fable, et le lièvre plutôt que la tortue.
Je me souviens d'une prof qui me disait que mon travail n'avançait pas parce que je "papillonnais" : je bavardais, je m'occupais à autre chose, je n'étais pas concentré.