je réponds par un b) sylleptique
Quelle syllepse ? Une syllepse est un accord selon le sens plutôt que selon la syntaxe. Je ne vois vraiment pas le rapport avec le
que qui nous occupe ici…

Ne vouliez-vous pas plutôt dire
explétif ?
Le verbe est implicite et suit la 2ème subordonnée. Il n'est simplement pas répété.
Sauf qu'en cas d'ellipse, c'est la seconde occurrence d'un mot que l'on ne répète pas et non la première. Or ici ce serait justement la première qui serait omise.
Et quand bien même, cela voudrait dire qu'avec des sujets au singulier le verbe devrait également être au singulier, ce qui est certainement faux.
Quand il apprit que le roi [se trouvait en enfer] et que son père se trouvait en enfer…
Quand il apprit que le roi et que son père se trouvait en enfer…
Quand il apprit que le roi et son père se trouvaient en enfer…
Il précise la pensée dans une phrase qui sans cet ajout, n'est pas claire. Pascal Quignard n'a pas voulu désorienter ses lecteurs.
Le "que" n'est pas obligatoire, mais il est très utile pour la clarté de la phrase et la fluidité de la lecture, du fait de la complexité de la phrase.
Pour moi, c'est le contraire : l'ajout du second
que rend la phrase totalement obscure ! C'est par confusion avec les reprises habituelles par
que (cf.
#11) que l'auteur a improprement ajouté ce mot, mais c'est pour moi clairement un solécisme, donc réponse (c) : incorrecte.
Quand il apprit que {tous les rois qui l’avaient précédé et la plupart des membres de sa parenté se trouvaient en enfer}… 
Quand il apprit que {tous les rois qui l’avaient précédé se trouvaient en enfer} et que {la plupart des membres de sa parenté se trouvaient en enfer}… 
(grammaticalement correct, mais redondant)
Quand il apprit que {tous les rois qui l’avaient précédé se trouvaient en enfer} et qu'il apprit que {la plupart des membres de sa parenté se trouvaient en enfer}… 
(grammaticalement correct, mais redondant)
Quand il apprit que {tous les rois qui l’avaient précédé} et que {la plupart des membres de sa parenté se trouvaient en enfer}… 
(parce que la première partie entre accolades n'est pas une proposition subordonnée, mais une simple expression nominale)